Los libros nos dicen que España tiene 5031 Kms. de costa (7695'3 si incluimos los archipiélagos, y 59'8 más si incluimos el Mar Menor). ¿Qué es lo que nos quieren decir?, ¿qué es lo que cubre esa longitud?, y sobre todo ¿cómo la han obtenido?.
Seguro que sobre estas preguntas los topógrafos tendrían mucho que decir, pero a nosotros solo nos interesa el planteamiento de la siguiente cuestión: La medida obtenida ¿es la misma en todos los casos?, lo mismo si medimos la costa en una fotografía, o en un mapa a una escala, que si medimos el perfil de la costa con todos los entrantes y salientes, o en el caso más extremo si medimos los detalles más mínimos, hasta el perímetro de todas las rocas...Pensad en ello.
Supongamos que tenemos que medir la longitud de la costa entre los dos puntos señalados
Una forma de hacerlo es con una cinta métrica, o con un telémetro . Nos situaríamos en un punto, y nuestro colaborador en el punto de la costa que distara de nosotros dicha longitud en línea recta, después repetiríamos el proceso tantas veces como haga falta.
También podríamos hacer el proceso sobre un plano, con un compás o con una regla. Sin embargo si la medición la hacemos metro a metro, siguiendo el perfil de la costa obtendremos otra medida, aunque el perfil descrito es el mismo.
Pero podemos precisar más aún el perfil de la costa teniendo en cuenta los entrantes y salientes de la playa, que además variarán según el oleaje y las mareas, y en la parte de rocas los entrantes y salientes serán aún más complicados.
A medida que la unidad, la longitud patrón, disminuye aumenta el resultado del proceso de medir. De forma que en el límite, cuando la unidad de medida se aproximara a 0, la longitud se aproximaría a infinito. Este proceso infinito nos acerca de manera introductoria a la idea de fractal.
Los fractales son una aplicación extremadamente bella de las Matemáticas, nacen en 1975 de la mano de Benoît Mandelbrot, creador del archiconocido Conjunto de Mandelbrot, uno de los objetos geométricos más admirados y estudiados de cuantos existen y que consiguen dejar boquiabierto a cualquiera ¿o no?.
Un fractal es una gran estructura de apariencia compleja pero constituido por elementos cada vez más pequeños. Cuando se quiere medir una linea fractal con una unidad de medida, siempre habrá objetos más finos que escaparán a la sensibilidad de la regla o el instrumento usado.
Esto sucede con la curva de Koch. Cada paso en la construcción de la curva aumenta un tercio su longitud. Es decir la longitud de la curva que ocupa el espacio inicial va aumentando en cada paso su longitud de forma indefinida. Cada curva es 4/3 de la anterior.
Como siempre ocurre, los descubrimientos del hombre no son tales sino que no son más que débiles reflejos de características que ya estaban presentes desde mucho antes en la naturaleza, y la geometría fractal asi lo es. Podemos ver como la estructura fractal se encuentra presente en la distribución de las ramas de un árbol, en la orden que configuran los vasos sanguíneos,o curiosamente en algunos vegetales.
Algunos fantásticos fractales. From the International Congress of Mathematician 2006.
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